Funciones Trasendentales

Texto preparado por: María Jesús Carrillo y Felipe Garrido

En nuestra vida solemos ver en algebra, funciones que son las que expresan en términos cuantitativos la forma en que una cantidad depende de otra y aquí aprendemos las muy conocidas funciones algebraicas. En este tipo de funciones podemos efectuar en la variable independiente las operaciones de sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, pero nos cabe preguntar:

¿Qué sucede cuando nos encontramos con una función que no cumple con las propiedades de las funciones algebraicas?

Aquí es cuando aparecen las funciones transcendentes, ¿Qué quiere decir el termino transcendente?. El termino trascendental hace referencia a un objeto (o a una propiedad del objeto) que comparativamente va más allá de otros objeto - tales objetos trascienden a otros objetos de alguna manera.

“Las funciones trascendentales son funciones no algebraicas tales como las funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas, pero también incluye un gran número de otras funciones que no han sido nombrada. , Siendo también definidas como sumas de series infinitas”

La definicion por exclusión en lugar de por la caracterización directa, es parecido a como se enuncia a los números irracionales, los cuales están definido por la exclusión: "los que no son racionales". Esto hace que sea difícil formular declaraciones generales al respecto ya que sólo se puede dar una pista de la complejidad del conjunto de las funciones trascendentes.

Simplemente no hay manera de describir una "típica" función trascendental. Muchas de ellas son generadas por una serie infinita, pero por otro lado, algunas series infinitas describiben funciones algebraicas, Las funciones trascendental sólo comparten la propiedad de ser no algebraicas, no hay ninguna manera de caracterizar funciones trascendentes elementales o generalisarlas, que no sea de una forma excluyente de propiedad individual.

Son “nombradas” funcciones trascendentales a las funciones de Bassel y las funciones de Hankel, por nombrar algunas. Estas se presentan en ciertas áreas especializadas, y son conocidas por expertos en esos campos, pero en el común de los estudiantes de matematicas nunca se les presentan por lo que no se ponen en la lista básica de funciones.

Texto elaborado por Víctor Pino B y Daniela Riquelme A.

Como sabemos los números reales son aquellos que abarcan tanto a los números racionales como los números irracionales.

Los números racionales son aquellos que están formados por los números naturales con el denominador distinto a cero y que se expresan como el cociente entre dos números enteros ejemplo 3/16. Mientras que los números irracionales se puede definir como aquellos cuya expresión decimal contiene infinitas cifras decimales no periódicas, un ejemplo seria el número pi, que contiene números decimales infinitos y que se aproxima a pi= 3,141592 . . . .

Si hacemos una diferencia entre los números reales abstractos y los concretos, podemos decir que los números abstractos son aquellos que sólo representan la idea de una cantidad por ejemplo 5 camisas o 5 sillas. Si nos damos cuenta en este sencillo ejemplo la cantidad es la misma; entonces el número abstracto representa la cantidad, ya que, no es algo tangible, algo que se pueda ver en cualquier parte. O a caso ¿han visto caminando un cero o un dos?

Por lo tanto los números reales concretos son aquellos que al igual que el abstracto lleva la representación de la idea de la cantidad pero van acompañados por una representación de una magnitud, esta puede ser el tiempo, peso, longitud, etc. Un ejemplo seria 2 m. que quiere decir que es dos veces un metro, unidad de medida que está representada concretamente por una regla, huincha, etc. Por lo cual se puede ver la diferencia, pero estos números tienen dos clasificaciones, ya que, existen los números homogéneos y heterogéneos. Los homogéneos son aquellos que pertenecen a la misma unidad de medida un ejemplo seria la hora, minutos, segundos, ejemplo de esto sería que 1 min equivale a 60 seg. Los números heterogéneos son aquellos números concretos que tiene distinta unidad de medida por ejemplo no se puede comparar 1 metro con 1 hora, aunque el numero abstracto es igual, pero la unidad de medida o magnitud no. Por lo tanto no se puede comparar entre ellos.

Como conclusión podemos determinar que los números representan una cantidad de elementos perteneciente a un conjunto de cosas u objetos, como lo vimos en el primer ejemplo, a diferencia de esto los números que se representas por una magnitud son números identificables a una unidad de medida y que se pueden observar en la vida cotidiana de cualquier persona.

Ábaco y caja Mackinder en Educación Matemática

Texto preparado por Pablo Castro y Williams Rivas

Para comenzar creemos necesario aclarar en qué consiste el Ábaco y la caja de Mackinder.

El Ábaco fue unos de los primeros dispositivos mecánicos que se utilizó para contar, y surgió producto de la insuficiencia de otras herramientas que se usaban primitivamente, como por ejemplo, los dedos de las manos. Actualmente, su forma más habitual consiste en varillas paralelas puestas en una base rectangular. A las diversas varillas corresponden diferentes unidades de valor, por ejemplo: “unidades”, “decenas”, “centenas”, y “unidad de mil”. En cada varilla se insertan, por ejemplo, argollas para representar cantidades, y se pintan de un color para diferenciarlas de las demás varillas o unidades de valor.

La caja de Mackinder es un instrumento que consiste en diez receptáculos menores que se encuentran alrededor de uno mayor, dispuestos en una base plana. .Los receptáculos menores poseen elementos que representan cantidades unitarias, las cuales se van depositando en el receptáculo mayor haciendo referencia que la multiplicación es la suma progresiva de esos elementos, y a la inversa con la división.

Estos instrumentos se utilizan, principalmente, en el nivel de enseñanza básica cuando se enseña a sumar y restar como en el caso del Ábaco; multiplicar y dividir en el caso de la caja de Mackinder, sin perjuicio, de que esta última también se pueda usar para sumar y restar.

¿En qué niveles creen que es conveniente utilizar estos instrumentos? ¿porqué?.

¿Estos instrumentos pueden ser utilizados en cualquier institución educativa? ¿porqué?.

Enseñanza de la Matemática: ¿Procedimientos o Algoritmos?

Texto preparado por: Roberto Araneda y Aldo Cortés

Algoritmo: Es una de las variadas estrategias para la resolución de problemas, la cual es aquella estrategia que nos lleva a una solución con pasos pre-establecidos e invariables. Estrategias en las que los pasos a seguir son seguros y prescritos. Son una especie de receta o manual que nos lleva ineludiblemente al resultado que se pretende. Ej. Receta de cocina,

Procedimiento: Es el método de realizar alguna cosa. Es el conjunto de instrucciones o serie común de pasos definidos, que permite la realización de un trabajo de una forma correcta. Es un subalgoritmo el cual permite poder realizar una tarea definida dentro de un algoritmo principal.

Ahora en la educación chilena la resolución de problemas es un eje transversal de los cuatro ejes definidos en la asignatura de Matemática, el cuál con los nuevos ajustes curriculares se le da énfasis desde los inicios de la educación formal ( 1er año básico ), hasta la finalización de la educación secundaria ( 4to medio ). Se orienta en el utilizar, elaborar y establecer estrategias para la resolución de problemas, y a formular conjeturas, verificar la validez de los procedimientos y relaciones en contextos matemáticos.

Si bien esto está establecido, en el interior de las aulas algunas veces esta orientación se pasa por alto, ya que los docentes están más preocupados de pasar contenidos, que dar un significado y un peso valórico a éstos en la vida diaria y en el contexto de cada alumno. Al final con una mala práctica docente lo que el alumno hace más énfasis es en la resolución de problemas mediante algoritmos ya establecidos y probados una y mil veces, que pueden llevarlo a la solución en un problema, no es el principal objetivo de la educación ni de la enseñanza de la matemática, si no que el mismo individuo pueda reconocer y verificar si los procedimientos o pasos para resolver un problema, son los correctos y únicos que lo llevarán a la solución. Por ejemplo para resolver un problema no es únicamente la solución la realización de un algoritmo, también existen otras estrategias que pueden ser mas significativas para los alumnos en la comprensión de los contenidos que pueden ser lluvia de ideas, ensayo y error, heurísticos etc…, que al igual que en los algoritmos, el procedimiento está inserto en ellos como medio para encontrar la solución.

Actualmente en la educación matemática los procedimientos están incluidos como una forma sistemática y ordenada de resolver un problema, pero esta forma indudablemente siempre lleva consigo un algoritmo que siempre para problemas parecidos los alumnos utilizan los mismos, siendo lo importante y primordial en la matemática comprender que para resolver algún problema no existe camino único, sino que varios caminos y varias resoluciones lógicas para un mismo problema.

¿Qué es Número?

Texto preparado por Karen Jofré y Giovanna Rondanellic

Albert Einstein ante la pregunta "¿qué es el tiempo?, respondió que "tiempo es aquello que marca el reloj". Al igual que la definición de tiempo, de energía, de luz, la definición de número resulta realmente compleja si se intenta dar una definición entendible y sencilla.

Para mediados del siglo XIX, diferentes matemáticos, con diferentes motivaciones, se formularon una misma pregunta ¿Qué es un número?, las respuestas que proporcionaron también serían diferentes. La abstracción del concepto es tal que no permite una definición acabada.

Del latín numĕrus, el término número se refiere a la expresión de una cantidad con relación a su unidad. Se trata, por lo tanto, de un signo o un conjunto de signos. En la Biblia los números tienen tres significados distintos: cantidad, simbolismo y mensaje.

Los números se usan en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, complejos, entre otros.

Otra distinción de contextos que le dan sentido al número, es según la función que éste cumpla: cuando se pretende ordenar concentrándose en la posición de un elemento respecto de otro nos referimos al contexto ordinal, y cuando la intención es representar una colección de objetos por el valor de su extensión nos referimos al contexto cardinal.

Concluyendo, la definición de número dependerá del autor al que nos refiramos, por tanto de acuerdo a la información recopilada propondremos la siguiente definición:

Podemos entender “número” como "entidad abstracta que permite representar una cantidad o permite contar, teniendo en cuenta que no existe un solo propósito, sino que se hace con varios sentidos, algunos de ellos son: comparar, ordenar, igualar, sumar; además funciona como un constructor social, creado por los seres humanos para satisfacer la necesidad de enumerar sus pertenencias.

Clase 01: Contextualización de la Didáctica de la Matemática

Estimado Alumnos:

En nuestra primera clase conversamos acerca del contexto en el cual se desarrolla la Didáctica de la Matemática. Que ella responde a una construcción que hace el individuo de la realidad y, por ende, ustedes deben conocer el entorno de los estudiantes para seleccionar los temas ha tratar, establecer los objetivos de aprendizaje a alcanzar y planificar las actividades de enseñanza para el logro de los objetivos planteados. Así, la labor del docentes comienza por el conocimiento, no sólo de su disciplina, sino de los estudiantes con los cuales deberá desarrollar su labor.

Esta primera clase se basó en el texto: "Contextualización de la Didáctica en el diseño Educactivo" y como tarea quedo su lectura y el desarrollo de un breve cuestionario a modo de autoevaluación.

Presentación ppt de la 1° Clase: Fundamentos de la Didáctica